Информационни технологии & Интернет

1. Цел на упражнението:

Целта на упражнението е, работейки с програмните модели на операционните блокове за преобразуване на цели и дробни числа от десетична в двоична бройна система, студентите да добият по-ясна представа за начините за реализиране на съответните методи, а също така да се установи степента на усвояване на микроалгоритмите за преобразуване.

2. Теоретична част:

2.1. Общ метод за преобразуване на числата от една позиционна бройна система в друга.

Постановка на задачата: Да се преобразува число, записано в система с основа q в система с основа p, т.е. да се представи например в следния вид:

А_P = а_n p^n-1 + а_n-1p^n-2 + а_n-2p^n-3 + … + а₃ p² + а₂ p + а₁ +

+ а_-1 p^-1 + а_-2 p^-2 + а_-3p^-3 +… + а_-k p^-k =

= А_ЦЧ + А_ДЧ

Преобразуването на цялата (А_ЦЧ) и на дробната (А_ДЧ) част на числото се извършва по различни начини т.е. отделно.

2.1.1. Преобразуване на цели числа – извършва се като A_ЦЧ се раздели на p и се отдели целочисленото частно A’ и остатъкът, а след това А’ се раздели на p и се отдели целочисленото частно A’’ и остатъкът и т.н. докато се получи частно равно на 0. Получените остатъци са търсените цифри а_i като последният остатък е старшата цифра на числото А_Р.

Доказателство: Допускаме, че числото вече е преобразувано.

А_ЦЧ/p = а_n p^n-2+ а_n-1p^n-3+ а_n-2p^n-4 +… + а₃ p + а₂ + а₁/p;  а₁ -  остатък

А’/p   = а_n p^n-3+ а_n-1p^n-4+ а_n-2p^n-5 +… + а₃ + а₂/p;             а₂ -  остатък

Делението се извършва в система с основа q, т.е. основата p трябва предварително да се представи в тази система (ако е необходимо). Цифрите а₁, а₂, … също се поучават в система с основа q и трябва впоследствие да се преобразуват (ако е необходимо).

По-долу в качеството на пример ще бъде показано преобразуването на цели числа от десетичната в осмичната система и обратно. Както вече беше споменато, при това всички действия се извършват в системата, от която се преминава към друга система. За облекчаване на преобразуването от осмичната в десетичната система е показано и съответствието между числата в тези две системи.

2.1.2. Преобразуване на дробни числа – извършва се като A_ДЧ се умножи на p и се отдели дробната част A’ и цялата част, след това A’ се умножи на p и се отдели дробната част A’’ и цялата част и т.н. докато се получи дробна част равна на 0 или докато не се получат толкова на брой разряди, че точността на представяне на числото след преобразуването да бъде същата като тази преди преобразуването. Получените цели части са търсените цифри а_-i като първата цяла част е старшата цифра на числото А_P.

Доказателство: Допускаме, че числото вече е преобразувано.

А_ДЧ . p = а_-1 + а_-2 p^-1 + а_-3 p^-2 +… + а_-k p^-(k-1) ;                  a_-1 – цяла част

А’ . p  = а_-2 + а_-3 p^-1 + … + а_-k p^-(k-2) ;                                        a_-2 – цяла част

………………………………………………….

Умножението се извършва в система с основа q, т.е. основата p трябва предварително да се представи в тази система (ако е необходимо). Цифрите а_-1, а_-2, … също се получават в система с основа q и трябва впоследствие да се преобразуват (ако е необходимо).

В случай, че при умножението на р не се получава дробна част равна на нула, се изчисляват толкова на брой разряди след запетаята, колкото е необходимо за запазване на точността на представяне. Този брой може да се определи по следната формула:

n_Р = n_q. lg q / lg p,

където n_q е броят разряди след запетаята на числото в система с основа q, а n_Р е минималният брой разряди, които трябва да се получат в процеса на преобразуването.

По-долу в качеството на пример ще бъде показано преобразува-нето на дробни числа от десетичната в осмичната система и обратно.

2.2. Методи за преобразуване от десетична в двоична система.

2.2.1. Метод за ръчно преобразуване – използва се общият метод, т.е. чрез деление на цялата част и умножение на дробната част на 2.

2.2.2. Методи за машинно преобразуване:

а. програмно – използват се специални подпрограми, алгоритмите на които са съставени на базата на показаните по-долу изрази.

За цели десетични числа:

А_ЦЧ = а_n 10^n-1 + а_n-110^n-2 + … + а₂ 10 + а₁=

= (( … ((0 + а_n)10 + а_n-1)10 + … + а₂)10 + а₁

За дробни десетични числа:

А_ДЧ = а_-1 10^-1 + а_-2 10^-2 + … + а_-(k-1)10^-(k-1) + а_-k10^-k =

= ((…((0 + а_-k)/10 + а_-(k-1))/10 +…+а_-2)/10 + а_-1)/10

Цифрите a_i на десетичното число, а също и основата на десетичната система се представят в двоичната (използва се код 8421) и всички действия се извършват в тази система. В резултат се получава  A в двоичната система.

б. апаратно – десетичното число се представя в десетична двоично – кодирана система с използване на код 8421.

- преобразуване на цели числа – използва се общият метод, т.е. чрез деление на 2 и отделяне на остатъците.

Апаратното деление на 2 става чрез изместване на двоично-десетичния код на десетичното число на един разряд надясно. При това, ако в старшия разряд на дадената тетрада не се прехвърли “1” от съседната й в ляво, то, в резултат на изместването, в тази тетрада действително се получава кодът на разделената на 2 десетична цифра. Например:

Но, ако след изместването в старшия разряд на дадена тетрада се появи “1”, тя ще получи  тегло 8, а не 10/2=5, както би трябвало да бъде. Следователно съдържанието на всяка тетрада, в старшия разряд на която се е появила “1”, трябва да се намалява с 8-5=3.  Но това изисква използването на субтрактор, което може да се избегне, ако вместо да се изважда 3 се прибавя 13, т.е. 1101. При това, тъй като в старшия разряд на тетрадата има “1”, а събирането е двоично, то винаги ще възниква пренос с тегло 16. Ако този пренос не бъде отчетен, в крайна сметка се получава корекция 13-16=-3, както и трябва да бъде. Например:

Схемата на операционната част на блока за преобразуване на цели десетични числа в двоичната система е показана на фиг.1. В Рх се записва двоично-десетичният код на десетичното число, в Рк се записват кодовете на корекциите, а в Рz след съответния брой цикли се получава двоичният код на числото. Във всеки от циклите се извършват последователно следните микрооперации:

*  ИД Рх и ИД Рz;

*  ЗРк;

*  ПрК Рх и ПрК Рк в å;

*  ПК Рх.

Забележка: При корекция = 0 може да се извършва направо ИД.

преобразуване на дробни числа – използва се общият метод, т.е. чрез умножение на 2 и отделяне на целите части.

Апаратното умножение на 2 става чрез изместване на двоично-десетичния код на десетичното число на един разряд наляво, което е равносилно на събиране на две еднакви числа. При това, за да се получи кодът на удвоеното число се налага прибавянето на корекция (+6) към тези тетради, в които след изместването се е получил код на цифра > 9, а също и към тетрадите, в старшия разряд на които преди изместването е имало “1”, т.е. от които при изместването се е получил пренос. С цел да се опрости апаратната реализация на това правило преди изместването се прибавя корекция (+3) към всички тетради, в които има кодове на цифри > 4. Валидността на последното може да бъде показана със следната таблица:

Схемата на операционната част на блока за преобразуване на дробни десетични числа в двоичната система е показана на фиг.3. В Рх се записва двоично-десетичният код на десетичното число, в Рк се записват кодовете на корекциите, а в Рz след съответния брой цикли се получава двоичният код на числото. Във всеки от циклите се извършват последователно следните микрооперации:

*  ЗРк;

*  ПрК Рх и ПрК Рк в å;

*  ПК Рх;

*  ИЛ Рх и ИЛ Рz.

Забележка: При корекция = 0 може да се извършва направо ИЛ.

Сходни статии:

1. Програма за преобразуване на четирибайтови числа в допълнителен код Програма за преобразуване на четирибайтови числа в допълнителен код Зададеното число се разполага в четири последователни клетки от паметта. И тук е прието най-старшият байт да е с най-малък адрес....
2. Програма за преобразуване на еднобайтови двоични числа в BCD код Максималната стойност на еднобайтовото число е 255. За да бъде преобразувано в двоично-десетично, може да се постъпи по следния начин. От зададената стойност да се изважда най-напред100, докато се получи...
3. Изваждане на BCD числа За изваждане на BCD числа не могат да се използват инструкциите SUB, SBC, SBCI, защото код BCD и двоичният код са съвсем различни неща. Тук ще бъде използван алгоритъм, който...
4. Търсене на числа от поредица автор: Веселин Димитров Програмата е създадена с цел намирането на числа от поредица такива, които са по-големи от сбора на всички предхождащи го числа. Програмата позволява да се четат числа...
5. Програма за умножение на еднобайтови числа без алгебричен знак Програма за умножение на еднобайтови числа без алгебричен знак Алгоритъм на умножението Нека е дадено множимото 1101 и множителя1001. Алгоритъмът за умножение на десетични и двоични числа е един и...