Линейният оператор f
def: Линейният оператор f на евклидовото пространство V се нарича симетричен, ако (fx,y)=(x,fy) (1) за всеки два вектора от V.
def: Квадратната матрица А с комплексни елементи се нарича симетрична, ако А*=А, където с А* е означена матрицата, която се получава от А след нейното транспониране и заменяне на всички елементи с техните комплексно спрегнати.
def: Квадратната матрица A с реални елементи се нарича симетрична, ако съвпада с транспонираната си, т.е. aij=aji, за всяко i,j = 1,2,…,n.
Теорема: Матрицата А на всеки симетричен оператор f, действащ в n-мерното унитарно пространство V спрямо ортонормиран базис е симетрична и обратно – на всяка симетрична матрица спрямо ортонормиран базис на унитарното пространство V съответства симетричен оператор на V.
Д-во: Нека е = {e ,e ,…,e } е произволен ортонормиран базис на унитарното пр-во V и спрямо този базис А=(а ) е матрицата на симетричния оператор f. Тогава от (1) при х= и у= намираме че (fe ,e ) = (e ,fe ) (2), откъдето, след като вземем под внимание равенството получаваме (3). Последното равенство, вследствие основните св-ва на скаларното произведение в унитарните пр-ва, показва, че (4) Но базисът е ортонормиран, т.е.
и следователно (4) се редуцира в равенството (5), показващо че А е симетрична
Обратно, ако А = (а ) е една симетрична матрица, е = {e ,e ,…,e }е един ортонормиран базис на унитарното пр-во V и f линейният оператор на V с матрица А спрямо базиса е, тогава следвайки направените по-горе разсъждения, започвайки от вярното равенство (5), по обратен път достигаме до равенството (2). От верността на (2) за всеки два вектора на пр-вото V ще имаме по-нататък:
И така на симетричната матрица А при фиксиран ортонормиран базис на унитарното пр-во V съответства симетричен оператор f.
Непосредствено от горната теорема следва, че матрицата А спрямо ортонормиран базис на всеки симетричен оператор f, действащ в n-мерното евклидово пространство V, е симетрична.
Обратно, на всяка симетрична матрица спрямо ортонормиран базис на евклидовото пр-во V съответства симетричен оператор f на V.
def: Операторът f на евклидовото пр-во V се нарича ортогонален, ако запазва дължините на векторите на V, т.е. ако (fx,fx)=(x,x) (6) за всеки вектор от V.
def: Квадратната матрица А с комплексни ел-ти се нарича ортогонална, когато АА*=Е.
def: Квадратната матрица А с реални елементи се нарича ортогонална, когато АА’=Е, т.е. една матрица е ортогонална, когато обратната й съвпада с транспонираната й.
Теорема: Ортогоналните оператори запазват скаларното произведение и обратно, всеки оператор, запазващ скаларното произведение, е ортогонален.
Д-во: Наистина от (6) последователно за вектора х+у намираме:
(f(x+y),f(x+y)) = (x+y, x+y)
(f(x+y),f(x+y)) = (fx + fy, fx + fy) = (fx,fx) + 2(fx,fy) + (fy,fy);
(x+y,x+y) = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) = (x,x) + 2(x,y) + (y,y).
Като вземем под внимание обаче, че операторът f е ортогонален и следователно
(fx,fx) = (x,x) и (fy,fy) = (y,y) от горните равенства следва, че (fx,fy) = (x,y) (7).
Обратно, от (7) при х=у следва (6).
Теорема: Матрицата на всеки ортогонален оператор спрямо ортонормиран базис в n-мерното евклидово пр-во V е ортогонална и обратно, всяка ортогонална матрица от n-ти ред може да се разглежда като матрица на ортогонален оператор спрямо ортонормиран базис на V.
Няма сходни статии.